数学原来可以这样学_初中篇
一、概述
高斯：近代数学之父、磁场单位，微分之父、几何学之父、测量之父、地图之父。
数学表示具有再现性和客观性，数学是自然科学的基础。
牛顿：stand on the shoulders of giants.
学数学：要通过解决数学问题，锻炼“思考体力”。
思考体力：①自我驱动力 ②多段思考力 ③质疑力 ④大局力 ⑤场合分辨力 ⑥跃升力。
即使到了AI可以替代人类工作的时代，我们人类也应该锻炼自己的思考体力。
逻辑：数学、语文底层是相通的；心算和数学不算是一回事。
数学三个领域：代数、几何、函数
初中数学中的思考方法：
把“不知”设为未知数，然后寻找未知数与已知数之间的关系和规则，这是解决问题的基本思维方式。
二次方程式： ax²+bx+c=0
二次方程式又是初中数学中最强的大boss。如果把这个大boss打败了，初中数学基本上就可以通关了
二、二次方程式(初中数学的大boss)
ax²+bx+c=0
1. 负数的减法
减去一个负数，如1-(-1)，可以把它变成加法1+1。
2. 打败二次方程的利器
- 负数乘法：负x负=正，负x正=负；
- 平方根
3. 乘法分配律： a*(b+c)=ab+ac
4. 定理：
- 任何数乘以1都得它本身；
- 任何数乘以0都得0；
- 负数x负数 = 正数
- 负数x正数 = 负数
5. 移项：把等号一侧的数字或整式，移动到等号另一侧的时候，要改变运算符号。
6. 解一元二次方程
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平方根法
像 x²=ɑ 这种简单的一元二次方程式，可以用平方根法来解。
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分解因式法:
拿一元二次方程式 x²+bx+c=0 来举例。如果有两个数相乘得b、相加得c的话，那么x²+ɑx+b=0 就可以分解因式
- 先看零次项，举出所有零次项的约数组合；
- 从列出的约数组合中寻找，有没有哪组数相加等于一次项的系数。
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配平方法
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记公式
三、二次函数
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方程式与函数的区别
- 方程式→在特定条件下，求x(未知数)的值。
- 函数→表示关系本身(在指定了条件的情况下，就变成了方程式)。
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函数的斜率，在高中就叫作“微分系数(导数)”
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图像：一次函数图像是直线，二次函数图像是曲线。
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二次函数的解法
ax²+bx+c=0
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a决定开口方向。
- a > 0 ，抛物线开口朝上(正U形)；
- a < 0 ，抛物线开口朝下(倒U形)。
- 我们只看曲线的右半部分，如果a是正数，这部分就是不断上升的；如果a是负数，这部分就是不断下降的。
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参数c决定函数曲线上下的位置。
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参数b决定左右移动二次函数的左右移动
- 一元二次方程为什么有两个解?
除了顶点外，每个一元二次方程的y值都对应两个解，比如$y = 4$就是一条平行于x轴的直线，它与抛物线有两个交点，所以有两个解。
- 反比例
反比例函数的曲线，想与x轴和y轴相交，但永远不能相交，只能无限接近。
四、几何--三角形
点→线→面
1. 勾股定理(毕达哥拉斯定理)： 直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
a² + b² = c²
证明:
- 让四个相同的直角三角形拼接
- 大四边形：四条边都是a + b ，且四个角都是直角；
- 小四边形：四条边都是c，那么四个角是直角吗?
三角形内角和180，所以 ∠A+∠B+∠C=180°,已知∠A=90°，推出∠B+∠C=90° 平角是180°，所以∠B+∠C+∠x=180 °,推出 ∠x=90 ° 综上，可以得出 大四边形和小四边形都是正方形。
- 大正方形的面积 = 4*直角三角形面积+小正方形面积
（a+b）²=4x(ab/2)+c²
a²+b²+2ab=2ab+c²
最终得出：a²+b²=c²
2. 内错角、同位角、对顶角
两条相交直线构成的角，相对的两个角互为对顶角，且角的大小相同。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
小窍门：学习几何就要学会画辅助线，比如延长线、平行线、垂线等 先找内错角，再找同位角，最后找对顶角。这样一来，不管是多难的图形题，你都能找到灵感。
3. 图形相似
两个图形放大或者缩小到同样的大小，是完全相同的图形，这两个图形就是相似关系。
垂线：从直角顶点作一条与斜边垂直的线
图中的小三角形①②都和大直角三角形相似。
三角形相似条件:
- 三个内角的度数都分别相等。
- 相对应的三条边的比例一样。
- 相对应的两条边的比例一样，且这两条边的夹角的度数相等。
根据相似三角形证明勾股定理:
4. 关于辅助线
“不管有没有用，先把辅助线画出来再说!”这种不怕失败的挑战精神，是解决图形问题的关键。
〈辅助线的画法〉:① 垂线② 线段长度平 分线③ 角平分线④ 平行线
5. 圆周角
内接三角形：3个顶点都在圆上。
圆周角定理
①以圆心为顶点形成的角，其度数是∠A的2倍。
②圆的内接四边形，相对的两角的度数之和一定等于180度。
证明: ∠1=2∠A，∠2=2∠D ∠1+∠2=360 °=>2（∠A+∠D)=360 °=> ∠A+∠D=180 °
③圆的内接三角形，如果有一条边穿过圆心，那么这个三角形一定是直角三角形。
④圆的内接四边形，相对的两个角的度数之和一定等于90度。
6. 圆幂定理
两个顶点在圆周上、一个顶点在圆外的三角形，和由其两边与圆的交点、圆外顶点所组成的小三角形相似。
△ADE和△ABC相似
证明: ∠ADE=180 ° -∠BDE=180 °-(180 °- ∠C)= ∠C, 而且两个三角形公用 ∠A，所以三个角度数都相等，△ADE和△ABC相似。